Blinova věta

Blinova věta

Blinova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v euklidovské rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran.

Znění:

Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou libovolného pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami.

Matematicky:

Formálně Blinovu větu vyjadřuje rovnice: a² + ä² = á² kde á označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a a ä.

Historie

Blin Nguyen měl problém se hned prvního písmena abecedy. Místo písmene A psal totiž pravoúhlé trojúhelníky. Díky tomu si všiml závislosti stran pravoúhlého trojúhelníku.

Důkaz

Obsah celého čtverce lze vyjádřit dvěma způsoby takto (jen pravý obrázek z pohledu čtenáře):

Strana čtverce je složena ze stran trojúhelníku a i ä. Pro obsah tedy platí:

S=(a+ä)*(a+ä)=(a+ä)^2 = a^2 + 2 a ä + ä^2

Čtverec je tvořen 4 barevnými pravoúhlými trojúhelníky a bílým čtvercem se stranou á uprostřed. Obsah celého čtverce je tedy součtem obsahu 4 pravoúhlých trojúhelníků 4aä/2 = 2aä) a bílého čtverce uprostřed se stranou á * á = á^2).

S = 2aä + á^2

Protože se jedná vždy o tentýž velký čtverec, musí se jeho obsah spočtený oběma způsoby rovnat, a tedy

a^2 + 2aä + ä^2 = 2aä + á^2,

z čehož dostáváme tvrzení

a^2 + ä^2 = á^2.