1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12

V poslední době prožíváme vzrušující události v politice i geopolitice, ale stranou nezůstává ani matematika. Jedním ze zajímavých objevů je i poznatek, že součet nekonečné řady všech přirozených čísel není ani tak nekonečno, jak by se mohlo selským spánkem zdát, alébrž že současně, a to především, platí spíše rovnost 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12.

VTN předkládá elegantní důkaz na několik řádků, který se obejde bez použití německých, řeckých (nebo dokonce exotických indických) funkcí jako ζ či jiné Riemannoviny nebo Ramanujanoviny.

Důkaz

Máme dokázat, že

$1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$     (1)

nebo zkráceně

$\sum _{i=1}^{\infty }i=-{\frac {1}{12}}$     (2)

zapsáno v hexadecimálním tvaru ([1])

$\sum _{i=1}^{\infty }i=-{\frac {1}{\text{0xC}}}$     (3)

Víme, že nula krát jakákoli konstanta C je nula

$0\times {\text{C}}=0$     (4)

Dostáváme tedy

$\sum _{i=1}^{\infty }i=-{\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}={\frac {1}{0}}$     (5)

použijeme vztah vyjadřující nemožnost dělení nulou

${\frac {\text{1}}{0}}=\infty$     (6)

a získáváme známou rovnost pro součet nekonečné řady

$\sum _{i=1}^{\infty }i=\infty$     (7)

čímž jsme rovnici 1 dokázali.

Tuto unikátní úpravu rovnice (2 -> 5), kdy jsme eliminovali, či zdecimovali numerickou hodnotu záměnou dekadického zápisu za C hexadecimální zápis, a symbol "x" nahradili součinem, nazvěme hexadecimace.