Integrál

Čínský gardista dynastie Čching používá tlustý Newtonův integrál k integraci nepřizpůsobivého Chueje, Si-ning, kolem r. 1900. Bohužel nalezl jen jedinou primitivní funkci tohoto integrálu.

Chcete-li se pobavit a ne se jen dozvídat nové užitečné věci, podívejte se na heslo Integrál na české Wikipedii.

Článek Integrál dokazuje, že mnohé z toho, co se píše na Českopedii je opsáno z Necyklopedie.

„My se nebudeme integrovat!“

- Zdeněk Škromach [1]

Integrál je matematický nástroj používaný k všemožné integraci, např. integraci menšin do společnosti, integraci třídních sígrů do kolektivu, integraci odlišných regionů do celostátní ekonomiky atd.

Historické integrály

Bernhard Riemann se svým integrálem z damascénské oceli.

Matematici vyvinuli postupně několik druhů integrálů, které se liší definicí, tvrdostí i množinou objektů, na které funguje.

Klasický Newtonův integrál z konce 17. století je definován pro všechny spojité funkce f na nějakém intervalu reálných čísel, řekněme $(a,b)$, jako $\int _{a}^{b}f=F(b)-F(a)$, kde F je tzv. F je tzv. primitivní funkce k f, tedy f je derivací F čili f = F'. Definici Newtonova integrálu je možné rozšířit na širší množinu definičních oborů a funkcí. Integrál, který Newton používal osobně, byl dlouhý kolem 80 cm, tlustý asi jeden centimetr, vyrobený z vrbového dřeva a Newton ho pravidelně ošetřoval psím sádlem. Přesto podle dochovaných pramenů za rok vypotřeboval 2–3 integrály, což mnozí vidí jako důkaz jeho skutečné geniality.

Riemannův integrál z poloviny 19. století je definován zcela jinak, pomocí plochy pod křivkou funkce f; ale lze dokázat, že obě definice jsou matematicky zcela ekvivalentní. Z praktického hlediska se ovšem Riemannův integrál ukázal být mocnějším nástrojem, neboť ho bylo možné vyrobit z bronzu, železa či oceli. Riemann díky svému integrálu z damascénské oceli dokázal zintegrovat jinak naprosto beznadějné případy včetně tlupy odbojných Šlesvičanů i známého hornolužického puberťáka Uda.

V roce 1863 obdržel Riemann (na pódiu vpravo) za svoje úspěchy na poli integrace Řád černé orlice od pruského krále Viléma I.

Lebesgueův integrál

Proč si pražské jaro zvolilo za emblém zrovna integrál zůstává záhadou. Každopádně se Rudolfínum pravidelně plní zbloudilými matematiky.

Matematicky nejpoužívanější je dnes abstraktní Lebesgueův integrál, založený na teorii míry, a pojmenovaný podle francouzského matematika Henri Lebesguea. Nechť $(X,{\mathcal {M}},\mu )$ je prostor s mírou, $M\in {\mathcal {M}}$. Pro měřitelnou nezápornou funkci $f:M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ definujeme Lebesgueův integrál vztahem

$\int \limits _{M}f{\mbox{d}}\mu =\sup \left\{\sum \limits _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\mu (A_{j}),(\forall i\neq j)A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,M=\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }A_{j},(\forall x\in A_{j})\alpha _{j}\leq f(x)\right\}$

Pro obecnou měřitelnou funkci pak definujeme

$\int \limits _{M}f{\mbox{d}}\mu =\int \limits _{M}f^{+}{\mbox{d}}\mu -\int \limits _{M}f^{-}{\mbox{d}}\mu$

(má-li výraz smysl), kde $f^{+}=\max \left\{0,f\right\}$ je kladná část funkce $f$ a $f^{-}=\max\{0,-f\}$ je záporná část $f$.

Zásadní výhodou Lebesgueova integrálu je jeho univerzalita: stačí mít míru – a hned je možné integrál použít na jakoukoli měřitelnou funkci. Integrály jsou dnes díky tomu široce používané, je možné sehnat krátké, dlouhé, hliníkové, karbonové, hydraulické i kapesní. Ve většině států Evropy jsou integrály zařazené do zboží se sníženou nebo dokonce nulovou sazbou DPH, protože integrace je všeobecně podporovaná.

Vždy je důležité říci podle čeho integrujete.